9勝1敗と70勝30敗、強いのはどっち?

こんにちは、NAGONです。今回はタイトルの疑問について考察してみます。

 

最初に断っておきますが、統計学について記述してあるサイトを飛び回りながら、四苦八苦して考えても明確な結論は出ませんでした。

わかったことは統計学は難しいということと、ゲームによってどちらが強いか変わるのではないか、ということと、理論上はプレイヤー全体の勝率の分布が分かれば比較できるかもしれない、ということくらいです。

もしその過程にも誤りがあればご指摘お願いいたします。

そしてもっと明確な結論が出ている方がいれば教えてほしいです。

問題設定

この記事を書く前に、Twitter上で興味をひくために少し数字を変えてアンケートを実施したりもしました。

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70勝30敗よりも9勝1敗の方が、65勝35敗よりも17勝3敗の方が勝率が高いので単純に強いと考えた方もいると思います。

しかし、アンケートでは65勝35敗の方が多数派となっています。

そう考えられるのにも理由があります。

①その戦績は作為的に抽出されていないか

もし、100戦以上戦った中で調子が良かった部分だけ切り取って、9勝1敗だ、17勝3敗だ、と言っても全体での勝率が低かったら意味がありませんよね?

現実的には試合数が少ないとそういったことが起こっている可能性があるので、戦績として信用されにくいのです。

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②短期間だと「偶然」戦績が上下しやすい

試行回数が少ないと、「偶然」自分より弱い相手とマッチングして勝ててしまうかもしれません。

試行回数が少ないと、悩んだ末に適当に下した判断が「偶然」正解で勝ててしまうかもしれません。

そういった「偶然」が数を増やせば増やすほど落ちついていき、戦績が適正勝率へと近づいていきます。

いわゆる「大数の法則」というやつです。

 

それでは①が当てはまらない場合に、どれくらいの試合数があればデータ量として信用に値するのか、というのが私含め多くのカードゲーマーが抱いているであろう疑問です。

タイトル以外の例でもたとえば、

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統計データで1400試合して勝率58.4%の戦績と2500試合して勝率57.2%の戦績ではどちらを強いと見なせばいいのか、といった疑問もあります。

考察

これらに関する私の結論は、

ゲームによって適正勝率の分布が違って、理論上はそれによって戦績による想定適正勝率の分布みたいなものを算出できそう

というものです。

何の役にも立ちませんが思考過程が気になる方だけ読んでいただけたらと思います。

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よほど特殊なゲームでない限り、長期的な勝率の分布は50%のプレイヤーが最大で、左右対称に山のようになるはずです。

この分布の仕方は正規分布と呼ばれています。

対象となるゲームが「運ゲー」であればあるほど、同じくらいの実力のプレイヤーとマッチングしやすければしやすいほど、分布の山は細く険しくなります。

逆に、運要素が少ないゲームであればあるほど、実力差のあるプレイヤーとマッチングしやすければしやすいほど、分布の山は平たくなだらかになります。

 

この山を使って9勝1敗の例で考えてみましょう。

 

10戦して9勝1敗するのは勝率90%のプレイヤーだけではありません。勝率50%のプレイヤーでも低確率で9勝1敗することはありえます。

本来の勝率の分布的には、勝率90%のプレイヤーよりも勝率50%のプレイヤーの方が圧倒的に多いので、内訳にも一定数出てくると予想されます。

この辺の話はベイズの定理の話に似ていますね。

病気に罹っている人の90%に陽性反応が出る検査で陽性が出たからといって、実際に陽性である確率は、罹っていないのに誤判定で陽性が出ている数が多いせいで、あまり高くないとかいうあれです。

 

9勝1敗したプレイヤーの本来の実力(適正勝率と名付けました)がどれくらいか、というのは全プレイヤーが10戦したらどれくらいが9勝1敗するかの分布が分かれば推測できます。

 

勝率50%のプレイヤーが10戦して9勝1敗する確率は、

(1/2)^9×1/2×10C1=5/512

です。

同様の計算方法で勝率が60%でも70%でも9勝1敗する確率は求められますね。

 

適正勝率の分布にこの確率をプロットしていくことで、9勝1敗するプレイヤーの適正勝率の分布(赤)が以下のようなイメージでわかります。

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70勝30敗においても同様の方法で適正勝率の分布を理論上は求められるのでそれを比較すればどちらが強そうか判断できるかもしれない、というわけです。

 

ここまでお付き合いいただきありがとうございました。

次はもっと簡単なテーマで更新しようと思います。

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